Sdscompany.ru

Компьютерный журнал
3 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Интегрирование метод трапеций javascript

Метод численного интегрирования методом трапеций

Рис. 16.13. — Интерпретация определенного интеграла.

Геометрической интерпретацией определенного интеграла является площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданной подынтегральной функцией f(x), осью абсцисс и прямыми, представляющими собой вертикальные линии, которые проходят через точки, соответствующие пределам интегрирования (рис. 16.13).

Метод решения заключается в вычислении этой площади. Так как не существует простых математических формул для вычисления площади криволинейной фигуры, то эту криволинейную фигуру заменяют набором элементарных фигур – прямоугольников или прямоугольных трапеций. Естественно, что в методе трапеций – прямоугольными трапециями. Для этого разобьем участок интегрирования (ось Х в пределах от a до b) на n одинаковых отрезков и на каждом отрезке построим прямоугольные трапеции с основаниями равными значениям подынтегральной функции на краях отрезка и высотой равной длине отрезка на участке интегрирования (b-a)/n. Вид i-го отрезка интегрирования приведен на рис. 16.14.

Рис. 16.14. –Прямоугольная трапеция

Площадь прямоугольной трапеции вычисляется по известной формуле S=(Lосн1+Lосн2)/2 * h. Для трапеции, построенной на i-ом отрезе,

S=( f( a+(i-1)*h ) + f( a+i*h ) )/2*h, где h=(b-a)/n

Таким образом, площадь под интегральной функцией заменяем суммой площадей n прямоугольных трапеций на этом же участке интегрирования. Естественно, такая замена приводит к некоторой ошибке, которую называют точностью интегрирования. Чем больше величина n, тем меньше ошибка, т.е. выше точность интегрирования.

Предложенный метод интегрирования запишем следующим образом:

Так как в третьем действии дважды вычисляются одинаковые значения функции f (кроме f(a) b f(b)), то метод решения можно упростить (что делать при высокой скорости вычислений необязательно):

Спецификация на разрабатываемую подпрограмму

1. Назначение: вычисление определенного интеграла методом трапеций.

4. Перечень входных и выходных данных:

Таблица 16.7.Перечень параметров

Математическая подынтегральная функция в общем виде всегда имеет один аргумент вещественного типа, и результат вычисления при заданном аргументе представляет собой вещественное число. Поэтому подпрограммный тип tf должен быть определен следующим образом:

5. Заголовок подпрограммы:

function integral (f:tf; a,b:real; n:integer) : real;

Информационная модель

Таблица 16.8.Информационная модель

Текст подпрограммы

for i:=1 to n-1 do

Пример использования функции integral

Постановка задачи

Решим следующую задачу: определить площадь S, ограниченную параболой y=x 2 +1 и прямой y=3-x. Для того, чтобы получить пределы интегрирования, аналитически определим точки пересечения этих линий. Совместное решение уравнений дает пределы интегрирования от -2 до 1.

Рис. 16.15 –Графическая модель задачи

Метод решения

Решение задачи с учетом существования функции integral сводится к вычислению

Здесь применяем 10000 разбиений участка интегрирования, помня, что, чем больше количество разбиений, тем точнее вычисления. Реализация такого метода решения тривиальна.

В методе решения F1 и F2 представляют собой подпрограммы, соответствующие подынтегральными функциям. Интерфейс этих функций соответствует типу tf.

Метод решения функции F1: F1=3-x.

Метод решения функции F2: F2= x 2 +1.

Попутно определим требования к подпрограммам, которые являются фактическими параметрами

1. Эти подпрограммы не могут быть стандартными;

2. Их имена не могут совпадать с именами стандартных подпрограмм;

3. Подпрограммы должны быть оттранслированы с параметром «дальний вызов», так как реализация языка Паскаль требует, чтобы фактический параметр-подпрограмма имел полный адрес (сегмент и смещение) Это достигается с помощью директивы «включить дальний вызов»

Текст программы

for i:=1 to n-1 do

16. 12. Блочная структура программ.
Области действия описаний

Как правило, процедуры и функции располагаются в разделах процедур и функций, то есть являются вложенными внутрь программ или других подпрограмм. При таком вложении описание подпрограммы есть составляющая блока, и сама подпрограмма включает в себя блок, то можно ввести понятия внешний и внутренний блок.

Внешний блок – это блок, в который вложена подпрограмма. Внутренний блок — сама подпрограмма. Все описания, расположенные во внешних для данной подпрограммы блоках, называются глобальными по отношению к блоку, который образует данная подпрограмма. Все описания, расположенные во внутреннем блоке называются локальными. Можно ввести понятие уровень вложенности. Если в разделе описания процедур и функций описаны две или более подпрограмм, то говорят, что эти подпрограммы одного уровня вложенности. По отношению к внешнему блоку они являются внутренними. По отношению между самими подпрограммами мы не можем использовать термины внешняя или внутренняя, так как они одного уровня вложенности. Если в разделе описания процедур и функций внешнего блока вложена подпрограмма, внутри которой в таком же разделе расположена другая подпрограмма, то мы говорим о разном уровне вложенности этих подпрограмм. Для третьего блока, представляющего собой самую внутреннюю подпрограмму, оба блока, в которые она вложена, будут внешними. Уровень вложенности этой подпрограммы 2. Для второго блока третий блок будет внутренним, а первый — внешним. Уровень вложенности второго блока 1. Для первого блока (самого внешнего) второй и третий блоки будут внутренними. Уровень вложенности первого блока 0, т.е. этот блок является основной программой.

Для примера рассмотрим структуру блоков, предложенную автором языка (рис.16.16). Здесь в седьмой раздел программы A вложены две подпрограммы B и C. В подпрограмму В вложена подпрограмма D. В свою очередь в подпрограмму D вложена подпрограмма G. В подпрограмму С вложены две подпрограммы E и F.

Рис. 16.16. — Пример блочной структуры

Разберемся со сферой действия описаний. Описания меток действуют только внутри раздела операторов блока, в котором они описаны. Все остальные описания действуют не только внутри блока, в котором они описаны, но и во всех внутренних блоках, вложенных в данный блок (вне зависимости от глубины вложенности). При этом казалось, что могут возникнуть конфликты между глобальными и локальными описаниями, так как в разных блоках одинаковыми именами могут быть поименованы разные понятия. Для того чтобы таких конфликтов не возникало, принято следующее правило — все имена, определяемые в локальных описаниях, отменяют действия совпадающих имен, описанных в глобальных описаниях. На рис. 16.17 показано расположение блоков из примера по уровням. Здесь линиями со стрелками показано действие глобальных описаний. Так в блоке G действуют описания внешних блоков D, B, A.

Читать еще:  Ошибка 30068 39

Рис. 16.17. — Расположение блоков по уровням и действие глобальных описаний

Особо рассмотрим доступ к подпрограммам. Любая подпрограмма может быть вызвана:

a) из раздела операторов блока, в котором она описана;

b) из раздела операторов самой себя (прямая рекурсия);

c) из раздела операторов любой внутренней подпрограммы по отношению к данной (косвенная рекурсия);

d) из раздела операторов любой подпрограммы, описанной ранее в том же блоке, где и данная подпрограмма.

Эти правила можем переформулировать следующим образом – любая подпрограмма может вызывать на исполнение:

a) любую подпрограмму, описанную в разделе подпрограмм данной;

a) саму себя (прямая рекурсия);

b) все внешние подпрограммы по отношению к данной (косвенная рекурсия);

c) подпрограммы, описанные ранее на том же уровне вложенности.

Взаимодействие блоков (подпрограмм) из примера показано на рис. 16.18.

Рис. 16.18 — Пример взаимодействия между блоками

Здесь линиями со стрелками показаны возможности вызова подпрограмм на выполнение (стрелки указывают направление вызова). Так, например, из программы А могут быть вызваны только подпрограммы В и С, которые вложены в седьмой раздел. Из подпрограммы F могут быть вызваны сама подпрограмма F (прямая рекурсия), подпрограмма С, в которую она вложена (косвенная рекурсия), и подпрограмма Е (находится на одном уровне и описана ранее). з программы А могут быть вызваны подпрограммы B и С. В таблице 16.9 для перечислены все возможные взаимодействия между блоками. Здесь основной алгоритм – блок, из которого производится вызов подпрограммы, вспомогательный алгоритм – вызываемая подпрограмма.

Таблица 16.9.Пример взаимодействия между блоками

Метод трапеций

Метод трапеций — это метод приближённого интегрирования, полезный в тех случаях, когда нет возможности найти первообразную функции и вычислить интеграл через неё.

Помимо метода трапеций существуют другие методы приближённого интегрирования, например, метод прямоугольников и метод парабол.

Метод трапеций по сути похож на метод прямоугольников, но при этом он менее точный, чем метод средних прямоугольников.

Сущность метода трапеций

Рисунок 1. Метод трапеций для вычисления интегралов

Предположим, требуется вычислить интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $left[a;bright]$.

Также как и в случае с методом прямоугольников разобьём график кривой на элементарные сегменты c помощью точек с абсциссами $x_i$, и получим ломаную с вершинами в точках $(x_i;y_i)$, при этом $y_i=f(x_i)$, а $i$ принимает значения от $0$ до $n-1$.

Для этого выберем количество отрезков, на которые разбиваем исследуемый интервал и воспользуемся формулой для вычисления длины одного такого отрезка, которую мы уже использовали для метода прямоугольников:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Для вычисления по методу трапеций между собой соединяются две рядом стоящие точки разбиения, в результате образуя элементарные сегменты. Как видно дальше, значение функции $f(x)$ берётся на границах исследуемого отрезка.

Площадь первой такой трапеции составит:

а площадь $i$-ой трапеции составит:

Сложим площади всех элементарных трапеций:

Таким образом, площади всех элементарных трапеций, сложенные вместе, являются приближённой площадью фигуры, ограниченной линиями $x=a$, $x=b$, осью абсцисс и графиком кривой $f(x)$.

Формула для приближённого вычисления интеграла методом трапеций:

Погрешность при использовании метода трапеций

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Погрешность метода составляет:

Как видно из вышеприведённой формулы, здесь погрешность несколько больше чем погрешность метода средних прямоугольников, однако, не всегда удобно использовать именно этот метод. Метод трапеции удобен если самого графика функции нет, но есть значения, которые принимает функция $f(x)$ в точках разбиения. В случаях же когда всё же есть график, целесообразнее пользоваться методом средних прямоугольников.

Также при невозможности определения максимума функции сложно определить вычисляемую погрешность. В этом случае можно прибегнуть к следующему: сначала провести численное интегрирование методом трапеций для $n=10$, а затем на том же отрезке провести вычисление при $n=20$. Если разница двух полученных значений интегралов составляет меньше чем требуемая по условию погрешность, то в качестве ответа выбирают приближённое значение интеграла при $n=20$, а вычисления заканчивают. В противном случае если требуемая точность не достигнута, продолжают удваивать дальше количество отрезков.

Посчитайте интеграл $int_1^2 frac=ln2$ с точностью до $0, 001$, используя метод трапеций.

Разобьём нашу функцию на 10 равных сегментов.

В начале оценим погрешность вычисления:

В данном случае погрешность составляет $|δ_n|≤0.00008$, следовательно, для разбиения можно использовать 10 сегментов.

Также как и с методом прямоугольников, разобьём подынтегральную функцию на 10 отрезков, длина каждого из которых $Δx=frac<2-1><10>=0,1$ и вычислим значение подынтегральной функции $y(x)=frac<1>$ на границах каждого отрезка:

Сумма всех вычисленных значений функции $f(x)$ от первого до девятого включительно составит $6.1877$, а само значение интеграла составит:

Данное значение отвечает необходимой точности.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel

Классы: 10 , 11

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Численное интегрирование», применяя возможности MS Excel по вычисление определенных интегралов методом трапеции. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

  • Образовательные – совершенствование умений студентов при вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
  • Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
  • Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.
Читать еще:  Javascript обработчик формы

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

  • Компьютеры с OS MS Windows;
  • Программа Microsoft Excel;
  • Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
  • Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач интегрирования и методики решения;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма вычисления определенных интегралов методом трапеции;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с Вами изучили приближенное вычисление определенных интегралов, выделили методы их решения и решали данные интегралы ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при вычислении определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.

— В чем заключается вычисление интеграла?

— Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница . Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
— Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию какой-либо другой функцией , для которой интеграл вычисляется аналитически.

— Тогда для решения задачи строим с оценкой погрешности , и приближенно с очевидной оценкой погрешности .

— Введем на отрезке сетку , , где , и таблицу значений , .

— Рассмотрим простой вариант построения функции , приводящий к формуле трапеций.

— При этом функция строится как кусочно-линейная интерполяция значений , на равномерной сетке с шагом .

=.

— Формулы такого рода () называют механическими квадратурами, – коэффициентами (весами) квадратуры, – ее узлами.

Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции . Если она на имеет первую производную, ограниченную числом , то , и погрешность формулы трапеций не превосходит . Если на имеет вторую производную, ограниченную числом , то погрешность формулы итераций не превосходит , поскольку .

Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью , то мало кто сначала оценит третью производную функции и вычислит шаг сетки . Эта оценка и значение константы завышены. Кроме того, само вычисление может быть трудным, особенно если задана некоторым сложным образом.

Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов , получают его значение ; вычисляя интеграл с удвоенным , получают . Если модуль (где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют и т.д. Для гладких функций часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.

— Объясните алгоритм вычисления интеграла различными методами?

2. Применение знаний, формирование умений и навыков

Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»

Состав задания:

  1. Ознакомиться с теоретической частью задания;
  2. Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
  3. Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
    — постановку задачи;
    — алгоритм расчета;
    — таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
    — результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание:

  1. Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x 4 ) 1/2 на отрезке [0; 4]
    по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
  2. Представьте графически поставленную задачу.

Постановка задачи:

Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.

Таблица Исходная информация

Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

где — заданная и интегрируемая на отрезке функция.

Если один или оба предела равны или , то с помощью трюков с заменой переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.

Введем на сетку с переменным шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

на частичном отрезке и воспользоваться свойством (3).

Метод прямоугольников

Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность

Заменим интеграл (3) выражением , где

Тогда получим формулу

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке

Погрешность метода (5) определяется величиной

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в виде

и воспользуемся разложением

где . Тогда из (6) получим

Обозначая , оценим следующим образом:

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

т.е. формула имеет погрешность при .

Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для имеем и

Составная формула прямоугольников и ее погрешность

Суммируя равенства (5) по от до , получим составную формулу прямоугольников

Погрешность этой формулы

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

Отсюда, обозначая , получим

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина .

Видим, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.

Читать еще:  Структура языка java

Метод трапеций

Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность

На частичном отрезке эта формула имеет вид

и получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени,постоенным по узлам , т.е. функцией

Для оценки погрешности достаточно вспомнить,что

Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для .

Составная формула трапеций и ее погрешность

Составная формула трапеций имеет вид

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки.

Числовой пример

Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при интеграл

В данном случае

Зная точный ответ (14), найдем погрешности

Вторая производная функции на отрезке отрицательна, ее модуль не превышает единицы: . Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):

Рекомендации программисту

Оценка погрешности

Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки , так и от гладкости подынтегральной функции . Например, в оценку (11), наряду с , входит величина

которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке . Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.

Апостериорную оценку погрешности можно осуществить методом Рунге. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности , т.е. . Тогда

Пусть используется составная квадратурная формула

где — квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке все вычисления дважды, один раз — с шагом и второй раз — с шагом и оценим погрешность по правилу Рунге (17):

Пример программы на языке C++

В программе интеграруемая функция задается в функции . В данном примере интегрируется логарифм и эта функция выглядит так:

Функция реализует метод прямоугольников, а — метод трапеций.

Эти функции имеют следующие параметры:

Заключение

Методы прямоугольников и трапеций являются одними из простейших методов интегрирования (запрограммировать их не составляет особого труда). Но эти методы имеют лишь второй порядок точности,в то время как есть методы более высоких порядков.

Если же сравнивать эти два метода между собой, то метод прямоугольников, который относится к методам Гаусса — Кристоффеля, является точнее метода трапеций, относящегося к методам Ньютона — Котеса. Но в то же время метод трапеций может применяться с произвольным шагом, в отличие от метода прямоугольников, который, как мы увидели, не применим, например, к функциям,заданным в конечном числе точек.

Численное интегрирование

Введение

В данной лекции будет рассматриваться задача численного интегрирования. Формулы численного интегрирования функций одного переменного называют квадратурными формулами. Задача приближенного вычисления определенного интеграла (на отрезке или по многомерной области) фактически разбивается на две самостоятельные подзадачи. Первая — это интегрирование таблично заданной функции (полученной, например, при проведении лабораторного эксперимента). В таком случае априорная информация о гладкости подынтегральной функции отсутствует, весьма ограничены возможности в выборе узлов интегрирования. Для этой задачи наиболее эффективными будут квадратурные формулы интерполяционного типа и правило Рунге оценки погрешности.

Вторая задача — подсчет значения определенного интеграла от известной функции. При этом самая ресурсоемкая операция с точки зрения вычислений — подсчет значения функции. Желательно построить численный метод, позволяющий получать как можно более высокую точность при наименьшем количестве вычислений, при этом выбор узлов квадратурных формул целиком в руках вычислителя. В этом случае наиболее эффективными окажутся квадратурные формулы типа Гаусса .

7.1. Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона — Котеса)

Простейшую квадратурную формулу (формулу численного интегрирования) можно получить следующим образом. Пусть необходимо вычислить интеграл

Положим, что f(t) на рассматриваемом отрезке [a, b] не изменяется ( ). Тогда Если

Конечно, для константы приведенная выше формула точна — говорят, что построенная квадратурная формула будет точна на полиномах степени 0 . Легко можно доказать, что формула прямоугольников с центральной точкой будет давать точное значение и в случае линейной функции. Для всех других функций эту формулу будем рассматривать как приближенную.

Если предположить, что функция f(t) на отрезке интегрирования [a, b] достаточно близка к линейной, то можно заменить приближенное значение интеграла i площадью трапеции с высотой (b — a) и основаниями f(a) и f(b) . Тогда получается формула трапеций

В общем случае квадратурные формулы получаются при помощи интегрирования интерполяционного многочлена, аппроксимирующего подынтегральную функцию. Семейство квадратурных формул, получающихся таким образом, называется формулами интерполяционного типа (формулы Ньютона — Котеса) .

Введем на отрезке интегрирования сетку, определим значения функции в узлах сетки. Узлы в дальнейшем будем именовать узлами квадратурной формулы (или квадратуры). Пусть, как и в задаче интерполяции, имеется совокупность узлов Пусть также задана таблица Отрезок [tk, tk + 1] далее иногда будем называть элементарным отрезком.

Заменим подынтегральную функцию ее интерполяционным полиномом в форме Лагранжа. Будем полагать, что

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Формула трапеций. На отрезке [tk, tk + 1] проводим замену подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:

после чего, выполнив интегрирование по элементарному отрезку, получим приближенное значение интеграла на [tk, tk + 1] :

После суммирования интегралов по всем элементарным отрезкам [tk, tk + 1] получаем формулу трапеций для отрезка [a, b] :

На равномерной сетке (сетке с равноотстоящими узлами) при полученная формула принимает вид

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты 220 Вольт
Adblock
detector
×
×