Sdscompany.ru

Компьютерный журнал
6 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Метод половинного деления java

Методы дихотомии

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Существует довольно очевидная теорема: «Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но м.б. и несколько)». На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией, т.е. делением отрезка на две части. Обобщенный алгоритм выглядит так:

  1. Задать начальный интервал ;
  2. Убедиться, что на концах функция имеет разный знак;
  3. Повторять
    • выбрать внутри интервала точку ;
    • сравнить знак функции в точке со знаком функции в одном из концов;
      • если совпадает, то переместить этот конец интервала в точку ,
      • иначе переместить в точку другой конец интервала;

пока не будет достигнута нужная точность.

Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Рассмотрим варианты дихотомии: метод половинного деления и метод хорд.

Метод половинного деления

Метод половинного деления известен также как метод бисекции. В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции — и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое — метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

  1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.
  2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число).

Метод половинного деления как метод поиска корней функции

Изложение метода

Перед применением метода для поиска корней функции необходимо отделить корни одним из известных способов, например, графическим методом. Отделение корней необходимо в случае, если неизвестно на каком отрезке нужно искать корень.

Будем считать, что корень функции отделён на отрезке . Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом половинного деления. Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью .

Пусть функция непрерывна на отрезке ,

и — единственный корень уравнения .

(Мы не рассматриваем случай, когда корней на отрезке несколько, то есть более одного. В качестве можно взять и другое достаточно малое положительное число, например, .)

Поделим отрезок пополам. Получим точку и два отрезка .

  • Если , то корень найден ( ).
  • Если нет, то из двух полученных отрезков и надо выбрать один такой, что , то есть
    • , если или
    • , если .

Новый отрезок делим пополам. Получаем середину этого отрезка и так далее.

Для того, чтобы найти приближённое значение корня с точностью до 0″ alt= » eps >0″ />, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором

Однопараметрическая оптимизация (поиск экстремумов функций одной переменной) является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача — поиск экстремума функции многих переменных.

Рассмотрим метод половинного деления как простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации. Данный метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

Дана функция . Необходимо найти , доставляющий минимум (или максимум) функции на интервале с заданной точностью , т.е. найти

Запишем словесный алгоритм метода.

  1. На каждом шаге процесса поиска делим отрезок пополам, — координата середины отрезка .
  2. Вычисляем значение функции в окрестности вычисленной точки , т.е.
    .
  3. Сравниваем и и отбрасываем одну из половинок отрезка (рис. 1).
    • При поиске минимума:
      • Если , то отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.а)
      • Иначе отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.б)
    • При поиске максимума:
      • Если , то отбрасываем отрезок , тогда .
      • Иначе отбрасываем отрезок , тогда .
  4. Деление отрезка продолжается, пока его длина не станет меньше заданной точности , т.е. .

Схема алгоритма метода представлена на рис 2.

При выводе – координата точки, в которой функция имеет минимум (или максимум), – значение функции в этой точке.

Метод хорд

Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает от того, что он использует лишь знак функции, игноририруя отклонение (абсолютную величину). Но очевидно, что чем меньше (по абсолютной величине) значение функции, тем ближе мы находимся к корню. Метод хорд предлагает делить отрезок в точке, отстоящей от краев отрезка пропорционально абсолютному значению функции на краях. (Название «метод хорд» происходит от того, что точка деления является пересечением отрезка — хорды — с осью абцисс.)

Изложение метода

Метод основан на замене функции на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью дает приближение корня.

Читать еще:  Java control panel

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

  1. при фиксированном левом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3а);
  2. при фиксированном правом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3б);

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие или .

Метод обеспечивает быструю сходимость, если 0″ alt= «f(z)cdot f»(z) > 0″ />, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.

Комбинация метода хорд и метода половинного деления

Метод хорд можно применить в качестве «последнего штриха» после того, как метод половинного деления гарантирует требуемую точность — это не улучшит существенно гарантируемой точности, но, скорее всего, на несколько порядков повысит точность решения.

Если применять аналогичное уточнение к интервалу, полученному методом хорд, то эффект будет значительно слабее. Это ещё раз иллюстрирует тот факт, что метод хорд очень хорошо работает в условиях малого интервала (близости обеих границ интервала к корню), но неспособен сам создать себе эти условия (приблизить обе границы к корню).

На вопрос о том, стоит ли использовать попеременное применение метода половинного деления и метода хорд, ответ отрицателен. После того, как метод хорд приближает одну из границ почти вплотную к корню, методу половинного деления придётся долго работать, чтобы гарантировать заданную точность, т.к. метод хорд ее гарантировать не может.

Поэтому лучше использовать в качестве точки деления что-то среднее: если метод половинного деления предлагает использовать , а метод хорд — , то возьмем . Коэффициент .

Чему должен быть равен коэффициент ? Его следует не задавать, а вычислять по ходу работы: если при очередной операции интервал уменьшился более чем в два раза (это то, что гарантирует метод половинного деления), то значит, нужно больше доверять методу хорд (уменьшить ), и наоборот.

Может показаться, что при большом доверии к методу хорд этот комбинированный метод работает так же, как метод хорд. На самом деле, это не так: метод хорд передвигает по направлению к корню только одну границу, а комбинированный метод даже при высоком доверии к методу хорд передвигает и вторую границу, обеспечивая лучшие условия для работы метода хорд, а значит — для ещё большего доверия к нему.

Пишем метод дихотомии (деления отрезка пополам) на языке Java.

  • Реализовать программно метод дихотомии
  • Построить график функции

Для написания программы будем использовать язык Java в среде Eclipse и библиотеку JFreeChart , для создания графика.

Использовать будем данную функцию:

Начнём с подключения библиотеки. Для этого необходимо скачать JFreeChart с офф. сайта или здесь .

После того как скачали, распаковываем архим идём в папку lib и находим там файлы jcommon и jfreechart. Копируем файлы в папку вашего проекта и заходим в конфигурации сборки.

Нажимаем добавить внешний jar файл и ищем наши файлы. в итоге оны должны отобразится как на рисунке.

Сохраняем и выходим. Мы подключили всё что нам понадобиться для реализации данного задания.

Перейдём к написанию кода. Сперва подключим нашу библиотеку.

import javax.swing.JFrame; import org.jfree.chart.ChartFactory; import org.jfree.chart.ChartPanel; import org.jfree.chart.JFreeChart; import org.jfree.chart.plot.PlotOrientation; import org.jfree.data.xy.XYDataset; import org.jfree.data.xy.XYSeries; import org.jfree.data.xy.XYSeriesCollection;

Далее объявим переменные, которые будем использовать в ходе вычислений:

static double a = 2; static double b = 200; static double sigma = 0.01; static int max_step = 10000; static double x;static int k;

a и b — левая и правая граница диапазона по условию, sigma — допустимая погрешность, максимальное количество шагов для решения(необходимо, что не было бесконечного вычисления), x — значение функции в точке, k — количество итераций.

Теперь необходимо описать используемую функцию в отдельном методе:

public static double function(double x)

Math.pow — возводит число слева в степень являющееся числом справа. Таким способом в этом методе вы можете описать свою функцию.

Теперь необходимо написать алгоритм дихотомии и вывести график функции.

public static void main(String[] args) < XYSeries series = new XYSeries("(x - 15)^2 + 5"); double Xm; //Середина диапазона double f_Xm; //Значение функции в середине double f_a = function(a); //Значение функции слева //Отображаем крайне левую точку в графике series.add(a, function(a)); //применимо к конкретно этой функции. Удалите если другая. double f_b = function(b); //Значение функции справа //Вычисляем методом дихотомии while(((b-a) >sigma) && (k Xm = (a + b)/2; f_Xm = function(Xm); series.add(Xm, function(Xm)); //Записываем данные для графика if(f_a > f_Xm) < b = Xm; f_b = f_Xm; >else < a = Xm; f_a = f_Xm; >k++; > //Используем библиотеку для вывода графика XYDataset xyDataset = new XYSeriesCollection(series); JFreeChart chart = ChartFactory .createXYLineChart(«y = (x — 15)^2 + 5», «x», «y», xyDataset, PlotOrientation.VERTICAL, true, true, true); JFrame frame = new JFrame(«Метод дихотомии!»); // Помещаем график на фрейм frame.getContentPane().add(new ChartPanel(chart)); frame.setSize(400,300); frame.show(); >

Читать еще:  Java строку в массив char

В итоге у нас должно выйти что-то на подобии этого:

А остальные данные вы можете вывести в удобном для вас месте и способом.

Метод половинного деления

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 6980 ; Нарушение авторских прав

Графический метод

Для отделения корней уравнения естественно приме­нять графический метод. График функции у = f (х) с уче­том свойств функции дает много информации для опре­деления числа корней уравнения f (х) = 0.

До настоящего времени графический метод предлага­лось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появле­нием математических пакетов и электронных таблиц ста­ло возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.

Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:

1) если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);

2) повторим действия предыдущего пункта для полу­ченного отрезка.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

2.2. Методы уточнения корней

После того как найден интервал, содержащий корень, применяют итерационные методы уточнения корня с за­данной точностью.

Метод половинного деления (метод бисекций, метод дихотомии) для решения уравнения f(x) = 0 заключает­ся в следующем.

Пусть известно, что функция непрерыв­на и принимает на концах отрезка [а, b] значения разных знаков, тогда корень содержится в интервале (а, b). Раз­делим интервал на две половины и дальше будем рассмат­ривать ту половину, на концах которой функция прини­мает значения разных знаков (рис. 1). Этот новый отрезок [x1, b] снова делим на два равных отрезка и выби­раем из них тот, который содержит корень (отрезок [х1 х2] на рис. 1). Этот процесс продолжается до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше тре­буемой величины погрешности. На рис. 1 середина от­резка

[х1, х2] совпадает с точкой пересечения графика с осью абсцисс, т. е. точка х3 «попадает» в корень уравне­ния, и в этом случае процесс деления заканчивается.

Рис. 1. Метод половинного деления

Более строгое изложение алгоритма метода половинного деления:

2) если f(x) = 0, переходим к п. 5;

Решение уравнений в EXCEL методом половинного деления, методом хорд и касательных.

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

  • Если f(a)* f(b] e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Читать еще:  Java string tolowercase

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 )

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Метод дихотомии (половинного деления).

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу студента

Матушкина Михаила Николаевича

1 Дисциплина (специализация) «Вычислительная математика»

2 Тема работы: Выполнить минимизацию целевой функции методом дихотомииF(x)= .

3 Срок сдачи студентом законченной работы ___________________2018г.

4 Пояснительная записка должна содержать.:

1) Анализ численных методов одномерной оптимизации.

2) Математическое описание заданного метода

3) Подробный ход решения

Руководитель проекта_____________________________/Чернецкий В.О.

Студент _____________________________/Матушкин М.Н.

АННОТАЦИЯ

В ходе работы над курсовым проектом выполнен анализ численных методов одномерной оптимизации: Методы дихотомии, хорд, касательных, золотого сечения, метод Ньютона. Математическое описание метода дихотомия или половинного сечения. Также подробный ход решения методом дихотомии.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Анализ численных методов одномерной оптимизации. 7

1.1 Метод дихотомии (половинного деления). 7

1.2 Метод хорд. 7

1.4 Метод золотого сечения. 8

1.5 Метод Ньютона. 8

2.Математическое описание заданного метода. 9

3.Подробный ход решения. 10

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 14

ВВЕДЕНИЕ

Однопараметрическая оптимизация — поиск экстремумов функций одной переменной является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача — поиск экстремума функции многих переменных.

Для выполнения минимизации целевой функции используются различные методы, один из которых – метод дихотомии.

Метод дихотомии(метод половинного сечения) — метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

Для решения целевой функции и поиска экстремума часто используются программы, написанные на различных языках программирования, что позволяет облегчить решение.

Анализ численных методов одномерной оптимизации.

Метод дихотомии (половинного деления).

Метод основан на делении текущего отрезка [а, b],где содер­жится искомый экстремум, на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется минимум (максимум) в качестве следующего текущего отрезка. Экстремум локализуется путем сравнения двух значений критерия оптимальности в точках, отстоящих от середины отрезка на ε/2, где ε –погрешность решения задачи оптимизации.

Метод дихотомии (половинного деления):

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.

2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число).

К недостаткам метода относится его работоспособность только для одноэкстремальных функций R(x) (т.е. таких, которые содержат один экстремум того типа, который мы ищем в задаче), так как в других случаях при сравнении двух критериев в соседних точках невозможно правильно выбрать следующий интервал, где находится минимум (максимум).

Метод хорд

Метод хорд можно рассматривать как комбинацию метода секущих Метод секущих и метода дихотомии — отличие от метода секущих состоит в том, что если в методе секущих в качестве точек следующей итерации выбираются последние рассчитанные точки, то в методе хорд выбираются те точки, в которых функция имеет разный знак, и соответственно, выбранный интервал содержит корень. Но в отличие от метода секущих, после расчета следующего приближения в качестве второй точки выбирается не последняя, а та, в которой функция имеет разный знак со значением функции в вычисленной точке. Проиллюстрировано это ниже. Метод хорд является двухшаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.Метод требует, чтобы начальные точки были выбраны по разные стороны от корня (то есть корень содержался в выбранном интервале), при этом величина интервала в процессе итераций не стремится к 0.

Метод секущих.

Метод секущих — модификация метода Ньютона, в котором производная (вычислять ее не всегда удобно) заменена на секущую.
Секущая — прямая, проходящая через две точки на графике функции. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются последовательные значения точек пересечения секущей с осью абсцисс. Метод работает и в случае, если начальные точки выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, корня нет на отрезке между начальными приближениями), но при этом возможны случаи, когда метод не сходится.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector